Genealized Linear Mixed Model
GLMM(Genealized Linear Mixed Model)은 GLM(Generalized Linear Model)과 LMM(Linear Mixed Model)을 결합한 형태의 모형이다.
즉, Linear Model에 random effect를 추가하여 Linear Mixed model을 만들었던 것 처럼, Generalized Linear Model에 random effect를 추가하면 Generalized Linear Mixed Model을 만들 수 있다.
이전의 포스트에서 설명하였지만, random effect를 추가하게 되는 이유는 크게 두 가지가 존재한다.
첫 번째로 random effect를 추가함으로써 공분산행렬의 형태를 복잡하게 modeling하는 것이 가능해지고, 이러한 성질을 활용하여 Correlated 되어있는 데이터나, 반복적으로 측정된 자료를 다루는 모델을 만들 수 있기 때문이다.
두 번재로 전체 모집단에서 랜덤하게 뽑혀서 그 값이 결정된 factor를 모형에 반영하기 위함이다.
Structure
GLMM의 일반적인 구조는 다음과 같이 구성할 수 있다.
첫 번재로 random effect $u$가 given일 때의 conditional distribution of $y$는 독립이라고 가정한다.
\[y_i \vert u \sim indep\;f_{Y \vert u}(y_i \vert u)\]두 번재로 이렇게 정의한 Conditional distribution of $y$ given $u$가 Exponential family를 따른다고 가정한다.
\[\begin{align*} y_i \vert u &\sim indep\;f_{Y \vert u}(y_i \vert u)\\ &= exp \left \lbrack {y_i \gamma_i - b(\gamma_i) \over \tau^2 }- c(y_i, \tau)\right \rbrack \end{align*}\]세 번째로 conditional mean of $y$ given $u$에 대한 어떠한 transformation $g(\cdot)$이 fixed effect와 random effect의 선형 모형이라고 가정한다.(여기서 $g(\cdot)$은 link function이다.)
\[\begin{align*} E[Y_i \vert u] &= \mu_i\\ g(\mu_i) &= x_i' \beta + z_i' u \end{align*}\]네 번재로 random effect $u$의 분포를 가정한다.
\[u \sim f_U(u)\]
Reference
Seung-Ho Kang(2019), Generalized Linear Model : Generalized Linear Mixed Models(GLMMs), Yonsei University, p.1.